Исследование влияния нелинейностей на показатели качества системы управления

В исполнительный механизм входит двигатель постоянного тока (ДПТ), на вход которого подается напряжение якоря U_я, а на выходе создается пропорциональная ему частота вращения вала двигателя ω, которая, в свою очередь, подается на редуктор. Он обеспечивает преобразование частоты ω в угол поворота α своего выходного вала. Т.к. вал редуктора связан с осью заслонки , то она поворачивается вслед за редуктором

Описанную ранее конструкцию с точки зрения теории управления можно представить в виде функциональной схемы, приведенной на рисунке 2. Эта схема дает представление об устройствах, входящих с рассматриваемый объект управления и физических величинах, действующих на их входах и выходах.

Теперь, зная математическое описание всех устройств, входящих в объект управления и их параметры можно построить структурную схему объекта, которая представлена на рисунке 3.

Теперь добавим к объекту управления систему управления, а именно задатчик, устройство сравнения (УС) и регулятор. Добавив эти элементы в функциональную схему получим ее в виде, представленном на рисунке 6.

Добавим описанные блоки в вычислительную модель в программной среде Simulink MATLAB полученная модель показана на рисунке 7. Для задания угла в радианах, а не в вольтах после регулятора введен блок Gain, значение которого соответствует К_дуп. Также введены блоки Gain со значениями 0,95 и 1,05 для удобства установления времени переходного процесса по 5% зоне от установившегося значения.

Затем произведем настройку пропорционального регулятора таким образом, чтобы получить минимальную статическую ошибку и максимальное быстродействие, которое определяется по минимальному времени переходного процесса. При выполнении моделирования после ранее описанных работ получим графики переходных процессов, показанные на рисунке 8.

Попробуем с помощью блока Scope 2 посмотреть на сигнал между УСП и ДПТ (рисунок 9). Этот сигнал ни что иное, как напряжение, подаваемое на двигатель.

Выполнив расчет получим график блока Scope 2, приведенный на рисунке 10.

Проанализировав график рисунка 10 можно понять, что сознанная нами система управления подает на двигатель напряжение более 700 В, причем номинальное напряжение двигателя, который был задан в пункте 1 составляет 110 В. Следовательно, такой режим работы САУ будет, во-первых, аварийным (т.к. двигатель при таких параметрах должен будет сгореть), а, во-вторых, невозможен, т.к. УСП на своем выходе не может выдать напряжение более 110 В.

Чтобы учесть в модели САУ ранее описанные размышления введем на выходе регулятора нелинейное звено (нелинейность) типа "Ограничение по уровню". В программе Simulink MATLAB это звено называется Saturation (красный блок во второй копии системы рисунка 11). Установим ограничение на величину сигнала сверху (Upper limit) 10 В и снизу (Lower limit) -10 В, что соответствует штатному режиму работы УСП. В результате получим систему, приведенную на рисунке 11.

Если после выполнения расчета посмотреть на график блока Scope 2, приведенный на рисунке 12, то можно сделать вывод, что напряжение на двигателе не превышает номинальных 110 В, что говорит о нормальной работе системы.

Этот тип ограничения (ограничение по уровню), зачастую, обуславливается энергетическими ограничениями работы системы или объекта управления, и на практике встречаются довольно часто.

Для того чтобы оценить, как работает ограничение по уровню в систему установлен блок Scope 3. График с него приведен на рисунке 13. На нем синей линией приведен график сигнала на входе нелинейного звена, а красным - на выходе.

Рассматривая график можно увидеть, что нелинейность просто "обрезает" сигналы превышающие значение ограничения, в данном случае 10 В.

В результате такого управления получим график переходного процесса, показанный зеленой линией рисунка 14.

Видно, что наличие энергетических ограничений способствуют "затягиванию" переходного процесса во времени. При этом двигатель работает в нормальном режиме.

Определим показатели качества работы САУ:

• время переходного процесса t_пп = 15,6 с;
• перерегулирование σ = 0 %;
• статическая ошибка Δ = 0 рад.

Для учета в модели САУ описанных размышления введем на входе регулятора нелинейность типа "Зона нечувствительности". В программе Simulink MATLAB это звено называется Dead Zone (красный блок в третьей копии системы рисунка 15). Установим значения хоны нечувствительности (Start of dead zone и End of dead zone) от -0,5 до 0,5 В, что соответствует усредненной зоне нечувствительности аналоговых регуляторов. В результате получим систему, приведенную на рисунке 15.

Для того чтобы оценить, как работает зона нечувствительности подключим блок Scope 3 к звену Dead Zone. График с него приведен на рисунке 16. На нем синей линией показан сигнал на входе нелинейного звена, а красным - на выходе.

Рассматривая график можно увидеть, что нелинейность уменьшает по абсолютному значению выходной сигнал по отношению к входному. При этом в конце процесса регулирования возникает постоянная составляющая, не превышающая половины разброса зоны нечувствительности.

В результате работы САУ получим график переходного процесса, показанный оранжевой линией на рисунке 17.

Видно, что наличие зоны нечувствительности способствует еще большему увеличению времени переходного процесса. При этом двигатель также работает в нормальном режиме. И при моделировании учтены все ключевые особенности работы регулятора.

Определим показатели качества работы САУ:

• время переходного процесса t_пп = 16,08 с;
• перерегулирование σ = 0 %;
• статическая ошибка Δ = 0,153 рад.

Учтем наличие люфта введя в модель САУ нелинейность типа "Люфт" после последнего блока, описывающего редуктор (т.е. после Wred(p)). В программе Simulink MATLAB это звено называется Backlash. Установим величину люфта (Deadband width) равной 1 и начальное значение люфта (Initial output) 0. Последний параметр означает, что в первоначальный момент времени редуктор находится в середине всех имеющихся у него люфтов. В результате получим систему, приведенную на рисунке 18.

Для того чтобы оценить, как работает зона нечувствительности подключим блок Scope 3 к звену Backlash. График с него приведен на рисунке 19. На нем синей линией показан сигнал на входе нелинейного звена, а голубым - на выходе.

Рассматривая график можно увидеть, что выходной сигнал остается неизменным пока не пройдет зона нечувствительности. После этого сигнал передается со входа на выход без изменений. Так будет продолжаться до смены направления движения (до смены первой производной сигнала) и дальше процесс повторится.

В результате работы САУ получим график переходного процесса, показанный голубой линией на рисунке 17.

Видно, что наличие зоны нечувствительности способствует еще большему увеличению времени переходного процесса. За счет наличия в начале регулирования зоны когда выходной сигнал не меняется за счет зоны нечувствительности и люфта.

Проанализируйте ранее рассмотренный материал, содержимое таблицы 1 и сформулируйте выводы о влиянии типовых нелинейностей на работу САУ.

Для сведений в таблице 2 приведены типовые нелинейные звенья, их статические характеристики и уравнения, которыми можно описать эти нелинейности.

Для этого кратко рассмотрим типовые релейные нелинейные звенья. В таблице 3 приведены их названия, статические характеристики и уравнения, которыми можно описать эти нелинейности.

Мы рассмотрим два вида релейных нелинейностей двухпозиционные и трехпозиционные.

В случае с двигателем постоянного тока, который, в нашем случае, является реверсивным (может вращаться в обе стороны) работа двухпозиционного реле подразумевают, что на двигатель можно подать прямую и обратную полярности, т.е. приводить вал двигателя во вращение в одну или в другую сторону.

В рассматриваемом примере работа трехпозиционного реле подразумевают, что на двигатель можно кроме прямой и обратной полярностей подавать еще и нулевое значение, т.е. приводить вал двигателя во вращение в одну или в другую сторону, или отключать вращение.

Сравнивать работу релейной САУ будем с линейной САУ, приведенной на рисунке 9.

Для этого построим вычислительную модель, приведенную на рисунке 21. В ней имеются две системы: первая из них является линейной системой рассмотренной ранее (рисунок 9), вторая - релейная САУ, регулятор в которой заменен нелинейностью типа "Идеальное двухпозиционное реле".

В программе Simulink MATLAB представим это звено блоком 1-D Lookup Table (красный блок во второй САУ рисунка 21). В настройках блока зададим координаты точек нелинейности по примеру первой строки таблицы 3. Для этого построим нелинейность и укажем координаты точек (рисунок 22).

В настройках блока 1-D Lookup Table нужно указать матрицы входных (Breakpoints 1) и выходных (Table data) координат нелинейности. Особенностью является то, что координаты матрицы Breakpoints 1 должны всегда идти на увеличение и не повторяться. Чтобы этого добиться сделаем переход с -10 на 10 не при 0, а при значениях Х_вх составляющих -0,01 и 0,01. Тогда эти матрицы будут записаны в следующем виде Breakpoints 1: [-1 -0.01 0.01 1]; Table data: [-10 -10 10 10].

Еще во вторую систему добавлены два блоки Derivative и XY Graph для построения фазового портрета нелинейной САУ.

Теперь, когда определились с тем, как построена нелинейная САУ можем смоделировать и проанализировать ее работу.

Для начала посмотрим на работу нелинейности с помощью Scope 3. График с него приведен на рисунке 23. Здесь синей линией показан график сигнала на входе нелинейного звена, а красным - на выходе.

Рассматривая график можно увидеть, что если значение сигнала на входе больше 0, тогда выходной сигнал равен 10, а если на входное значение меньше 0, тогда выходной сигнал равен -10. Т.е. работа нелинейного звена происходит именно так, как оговаривает теория (таблица 3).

График с блока Scope 2 приведен на рисунке 24. Его анализ показывает, что напряжение на двигатель подается величиной -110 и +110 В с плавным изменением из-за наличия СПЧ. Таким образом можно говорить о нормальной работе оборудования САУ.

График с блока Scope 1 приведен на рисунке 25. Из графика видно, что в системе наблюдаются незатухающие колебания.

Определим показатели качества работы релейной САУ:

• время переходного процесса (условное, до возникновения автоколебаний) t_пп = 15,45 с;
• амплитуда автоколебаний А = 0,295 рад.;
• частота автоколебаний f = 0,24 Гц.

График с блока XY Graph приведен на рисунке 26. Из графика видно, что в системе наблюдаются незатухающие, устойчивые колебания, т.к. на фазовом портрете можно увидеть устойчивую траекторию в виде овала.

Введем в рассмотрение еще одну релейную САУ, в которой в качестве регулятора применим нелинейность типа "Реальное двухпозиционное реле". Для этого скопируем ранее созданную модель релейной САУ и применим в ней блок Relay (рисунок 27).

Для настройки блока построим статическую характеристику звена. Оно должно выдавать на выходе либо -10 В, либо +10 В, при этом есть небольшое расхождение в напряжении включения и выключения. Положим эту разницу в 1 В. Тогда статическую характеристику можно представить графиком, показанным на рисунке 28.

На основании рисунка 28 выполним настройку блока Relay. В нем четыре основных параметра:

• сигнал, при котором происходит включение реле Switch on point: 0.5;
• сигнал, при котором происходит отключение реле Switch off point: -0.5;
• значение выходного сигнала при включенном реле Output when on: 10;
• значение выходного сигнала при отключенном реле Output when off: -10.

Значение параметра "Input processing" остается тем, которое имеется по умолчанию.

Рассмотрим работу релейной САУ. Начнем с изучения работы нелинейности с помощью Scope 3. График с него приведен на рисунке 29. Здесь синей линией показан график сигнала на входе нелинейного звена, а красным - на выходе.

Рассматривая график можно увидеть, что звено работает аналогично ранее рассмотренному идеальному двухпозиционному реле, но срабатывание происходит не сразу при переходе входного сигнала через ноль, а после того, как сигнал пройдет значение неоднозначности равное ±0,5.

График с блока Scope 2 приведен на рисунке 30. Его анализ показывает, что работа релейного элемента почти аналогична ранее рассмотренному. При этом напряжение на двигателе не превышает 110 В.

Разница с предыдущей системой состоит в том, что из-за неоднозначности в первоначальный момент не происходит включение реле и на двигатель подается отрицательное напряжение.

График с блока Scope 1 приведен на рисунке 31. Из графика видно, что в системе наблюдаются незатухающие колебания, с первоначальным выбегом системы в отрицательное значение.

Определим показатели качества работы релейной САУ:

• время переходного процесса (условное, до возникновения автоколебаний) t_пп = 16,45 с;
• амплитуда автоколебаний А = 0,395 рад.;
• частота автоколебаний f = 0,19 Гц.

График с блока XY Graph приведен на рисунке 32. Из графика видно, что в системе наблюдаются незатухающие, устойчивые колебания, т.к. на фазовом портрете можно увидеть устойчивую траекторию в виде окружности. График практически аналогичен предыдущему (рисунок 26), за исключением "завитка" вначале траектории и чуть большей ширины овала устойчивой траектории.

Введем в рассмотрение релейную САУ, в которой в качестве регулятора применим нелинейность типа "Идеальное трехпозиционное реле". Для этого скопируем ранее созданную модель релейной САУ и применим в ней блок 1-D Lookup
Table (рисунок 33).

Для настройки блока построим статическую характеристику звена. Оно должно выдавать н выходе либо -10 В, либо 0 В, либо +10 В. Переключение между этими режимами происходит на значениях входного сигнала 0,46 В и -0,46 В. Также нужны еще две точки дальше этих значений. Возьмет их ждя примера -1. и 1 В.

Тогда статическую характеристику можно представить графиком, показанным на рисунке 34. На основании него выполним настройку блока 1-D Lookup
Table аналогично ранее рассмотренной настройки по рисунку 22.

В результате получим матрицу входных координат нелинейности Breakpoints 1: [-1 -0.46 -0.459 0.459 0.46 1] и матрицу выходных координат нелинейности Table data: [-10 -10 0 0 10 10].

Рассмотрим работу релейной САУ. Начнем с изучения работы нелинейности с помощью Scope 3. График с него приведен на рисунке 35. Здесь синей линией показан график сигнала на входе нелинейного звена, а красным - на выходе.

Рассматривая график можно увидеть, что на выходе звена присутствует нулевое значение в том случае если входное значение близко к нулю, если входной сигнал положителен, то на выход выдается сигнал +10, если же входной сигнал отрицателен, то на выход выдается сигнал -10. Т.е. работа нелинейного звена происходит именно так, как оговаривает теория (таблица 3).

График с блока Scope 2 приведен на рисунке 36. Его анализ показывает, что напряжение на двигатель подается величиной -110 В, +110 В или 0 В с плавным изменением из-за наличия СПЧ. Таким образом можно говорить о нормальной работе оборудования САУ.

График с блока Scope 1 приведен на рисунке 37. Из графика видно, что в системе отсутствуют автоколебания и она способна достигнуть установившегося значения.

Определим показатели качества работы релейной САУ:

• время переходного процесса t_пп = 16,45 с;
• перерегулирование σ = 4,8 %;
• статическая ошибка Δ = 0,085 рад.

График с блока XY Graph приведен на рисунке 38. Из графика видно, что в системе колебания, но автоколебания отсутствуют, т.к. на фазовом портрете уже нет устойчивой траекторию в виде окружности или овала.

Введем в рассмотрение релейную САУ, в которой в качестве регулятора применим нелинейность типа "Реальное трехпозиционное реле". Для этого скопируем ранее созданную модель релейной САУ и применим в ней два блока Relay (рисунок 39).

Для настройки блоков нелинейности построим статическую характеристику звена. Оно должно выдавать н выходе либо -10 В, либо 0 В, либо +10 В. Переключение между этими режимами происходит на значениях входного сигнала 0,45 В и 0,5 В, а также на значениях -0,45 В и -0,5 В. Эти разности сигналов обеспечат небольшое расхождение в напряжении включения и выключения. Исходя из описанной логики можем представить статическую характеристику графиком, показанным на рисунке 40.

На основании рисунка 40 выполним настройку блоков Relay. Блок Relay3 будет отвечать за включение напряжения +10 В, а блок Relay4 - за включение напряжения -10 В.

Тогда настройка блоков будет следующая.
Блок Relay3: Switch on point = 0.5; Switch off point = 0.45; Output when on = 10; Output when off = 0.
Блок Relay4: Switch on point = -0.45; Switch off point = -0.5; Output when on = 0; Output when off = -10.
Значение параметра "Input processing" остается тем, которое имеется по умолчанию.

Рассмотрим работу релейной САУ. Начнем с изучения работы нелинейности с помощью Scope 3. График с него приведен на рисунке 41. Здесь синей линией показан график сигнала на входе нелинейного звена, а красным - на выходе.

Рассматривая график можно увидеть, что звено работает аналогично ранее рассмотренному идеальному трехпозиционному реле (рисунок 35), но срабатывание происходит не сразу при переходе входного сигнала через ключевые значения, а после того, как сигнал пройдет значение неоднозначности равное ±0,05.

График с блока Scope 2 приведен на рисунке 42. Разница с предыдущей системой минимальная (на глаз не видна, но если построить эти два графика в одной системе координат, то будет заметна) и состоит только в длительности отрицательного импульса.

График с блока Scope 1 приведен на рисунке 43. Из графика видно, что в системе отсутствуют автоколебания и она способна достигнуть установившегося значения. Амплитуда выброса стала ниже, но при этом установившееся значение снизилось.

Определим показатели качества работы релейной САУ:

• время переходного процесса t_пп = 16,45 с;
• перерегулирование σ = 5,47 %;
• статическая ошибка Δ = 0,11 рад.

График с блока XY Graph приведен на рисунке 44. Из графика видно, что в системе колебания, но автоколебания отсутствуют, т.к. на фазовом портрете уже нет устойчивой траекторию в виде окружности или овала. График практически аналогичен предыдущему (рисунок 38).


Сравним показатели работы САУ в табличном виде. Результаты приведены в таблице 4.