Математическое моделирование двигателя постоянного тока

В приведенном здесь материале рассмотрена подробная и краткая теория построения математической модели двигателя постоянного тока (ДПТ) как объекта управления (ОУ).
Также в практической части рассмотрены примеры построения мат.моделей ДПТ как упрощенного вида для применения их в курсовой работе или курсовом проекте по теории автоматического управления (ТАУ), так и более сложной структуры - для применения в курсовом проекте по идентификации ОУ или в выпускной квалификационной работе (дипломе).

Подробное рассмотрение двигателя постоянного тока как объекта управления рассмотрено в работе [Абакумов A. M., Диушин Г.A., Зимин Л.С. Расчет систем электропривода, работающих в режиме стабилизации. Методические указания по курсовому и дипломному проектированию для студентов специальности 0303. Куйбышев, Типография УЭЗ КПтИ, 1976. – 80 с.]

Приведенный в методических указаниях библиографический список приведен без изменений и представлен в конце данного раздела.

Коэффициент передачи двигателя при управлении по якорной цепи представляет собой отношение изменения скорости двигателя к изменению эдс на якоре. При номинальном потоке возбуждения коэффициент передачи двигателя [22] ÷ [24] определяется по выражению

где ω_дн ≈ 0,105 n_н – номинальная угловая скорость двигателя, рад/с;
n_н – номинальная скорость двигателя, U_н – номинальное напряжение двигателя, В; I_ян – номинальный ток якоря двигателя, А; R_д – сопротивление якорной цепи двигателя в нагретом состоянии, Ом.

Обычно в каталогах приводится величина номинального тока двигателя I_н. Номинальный ток якоря двигателя

где номинальный ток возбуждения

В выражении (3) R_в — сопротивление обмотки возбуждения в ненагретом состоянии (при 15 °С или
20 °С), Ом; α_н = 1,2 ÷ 1,4 коэффициент, учитывающий изменение сопротивления при нагреве [22].
Сопротивление якорной цепи двигателя

где R_я, R_дп, R_ко — сопротивления обмоток якоря, дополнительных полюсов и компенсационной обмотки в ненагретом состоянии. Ом; величины сопротивлений определяются по каталогам [28] ÷ [30]; R_щ — сопротивление щеточного контакта под­считывается по выражению

Основной помехой при работе двигателя является помеха, обусловленная изменением нагрузки на его валу (помеха нагрузки). Эта помеха представляет собой падение напряжения в якорной цепи двигателя при изменении нагрузки

где ΔIя – изменение тока якоря двигателя при нормальном режиме работы электропривода, А.
Если точные данные о величине изменения тока якоря отсутствуют, то приближенно принимают

Помеха нагрузки обычно составляет (0,05 ÷ 0,2) U_н, причем большие значения соответствуют двигателям малой мощности.

Передаточная функция двигателя по управляющему воздействию [22] ÷ [27] записывается в виде

где Т_м, Т_э — соответственно электромеханическая и электромагнитная постоянные двигателя

J = J_д + J_м – момент инерции двигателя и производственного механизма, приведенный к валу двигателя, кг/м²;
c_е, с_м — коэффициенты передачи двигателя; L_д — индуктивность якорной цепи двигателя, Гн.

В каталогах обычно приводится величина махового момента двигателя GD_д² (кг·м²), в этом случае момент инерции двигателя и механизма может быть подсчитан по выражению

где приведенный к валу двигателя маховой момент механизма, кг·м².

Методика расчета приведенного момента инерции механизма подробно рассмотрена в [1] ÷ [4]. Когда двигатель приводит в движение производственный механизм через понижающий редуктор с большим передаточным числом, как например, в механизмах подачи металлообрабатывающих станков, для ориентировочных расчетов можно принять GD_м² = (0,1 ÷ 0,2) GD_д².

Коэффициенты c_e, c_м подсчитываются по формулам

Если в паспортных данных величина номинального момента двигателя М_н не указана, то его можно подсчитать по выражению

где Р_н — номинальная мощность двигателя, Вт.

Индуктивность якоря двигателя находится [22], [23], [31] по приближенной формуле Уманского и Линвилля

где β – коэффициент, равный 0,6 для машин без компенсационной обмотки и 0,25 для машин с компенсационной обмоткой; p_д — число пар полюсов двигателя.

Передаточная функция двигателя по возмущающему воздействию в виде изменения момента на валу записывается [22], [26] следующим образом:

где k_дв — коэффициент передачи двигателя по возмущающему воздействию, представляющий собой отношение изменения скорости двигателя к изменению момента на его валу

В том случае, когда двигатель получает питание от силового преобразователя при определении постоянных времени Т_э, Т_м и коэффициента k_дв следует в выражениях (9), (10), (17) вместо L_д и R_д брать величину сум­марной индуктивности и суммарного активного сопротивления якорной цепи двигателя и преобразователя

При расчете динамики систем электропривода выражения для передаточных функций двигателя необходимо привести к виду передаточных функций типовых звеньев.
Здесь возможны 2 случая:

1. Если выполняется неравенство

то знаменатель передаточных функций (8), (16) может быть приведен к виду

При этом величины постоянной времени и коэффициента демпфирования подсчитываются по выражениям

2. Если имеет место соотношение

то знаменатель передаточных функции может быть записан в следующей форме:

Для определения величин новых постоянных времени Т₁ и Т₂ необходимо найти корни квадратного уравнения

Тогда постоянные времени определяются из выражений

Технические данные, необходимые для расчета коэффициентов передачи и постоянных времени двигателей постоянного тока, используемых в регулируемых электроприводах, приведены в [23], [28] ÷ [30].

Чтобы составить структурную схему двигателя постоянного тока как объект управления нужно ввести его передаточную функцию по управляющему воздействию

и передаточную функцию по возмущающему воздействию

При описании двигателя постоянного тока с типовыми динамическими звеньями возникают два случая:

1. Если выполняется неравенство (20)

тогда передаточную функцию по управляющему воздействию можно запись в виде

а передаточную функцию по возмущающему воздействию – в виде

При этом величины постоянной времени и декремента затухания будут определяться выражениями (22) и (23)

2. Если имеет место соотношение (24)

тогда передаточную функцию по управляющему воздействию можно запись в виде

а передаточную функцию по возмущающему воздействию – в виде

Определить величины постоянных времени Т₁ и Т₂ можно по выражениям (26) и (27)

Здесь рассмотрим примеры моделирования двигателя постоянного тока как для первого случая, когда выполняется неравенство (20) теории, так и для второго, когда выполняется неравенство (24).

Для рассмотрения 1-го случая выберем параметры двигателя из варианта 1-11 методических указаний [Теория автоматического управления. Нелинейные системы автоматического управления: методические указания к курсовому проектированию / Сост.: С.Я. Галицков, К.С. Галицков, А.С. Фадеев. – Самара: АСИ СамГТУ, 2019 – 33 с.]. В них даны следующие параметры: К_д = 1,2 рад/с/В;
Т_э = 0,15; Т_м = 0,25 с. Рассчитаем 4·Т_э = 0,6. При этом видим, что выполняется неравенство (20)

значит передаточная функция по управляющему воздействию записываем в виде

а передаточную функцию по возмущающему воздействию – в виде

Рассчитаем постоянную времени и декремент затухания по выражениями (22) и (23)

В данной математической модели считается, что К_д = К_дв.

Теперь можно перейти к построению вычислительной модели в программной среде MatLab.

Настроим блоки Gain и Transfer Fcn в верхнем (по рисунку 3) канале, относящемся к возмущению.

В блоке Gain запишем коэффициент передачи двигателя К_д. В нашем случае он составляет 1,2. В MatLab с десятичным разделителем является точка. Поэтому нужно вписать в поле Gain значение "1.2".

Теперь настроим блок Transfer Fcn. В нем есть два поля: Numerator coefficients (сюда записывают коэффициенты полинома числителя) и Denominator coefficients (сюда записывают коэффициенты полинома знаменателя). Передаточная функция по возмущению можно записать так

Причем коэффициент 1,2 мы уже вынесли в блок Gain. Тогда в числителе остается только одно выражение в скобках. В этом выражении есть два коэффициента при операторах Лапласа. Это коэффициенты 0,15 и 1 их запишем в виде матрицы в квадратных скобках через пробел в поле Numerator coefficients. Эта запись будет иметь вид [0.15 1].

Теперь настроим Transfer Fcn в нижнем (по рисунку 3) канале, относящемся к управлению. Передаточная функция этого блока описывается выражением

В момент времени t = 1 с произошло повышение напряжения двигателя на величину ΔЕ_д = 1 В. При этом частота вращения вала двигателя увеличилась на величину Δω_д =1,2 рад/с по траектории, показанной на рисунке 8.

В момент времени t = 5 с произошло повышение статической нагрузки на вал двигателя на величину ΔМ_с = 1 Н·м. При этом частота вращения вала двигателя снизилась на величину Δω_д =1,2 рад/с по траектории, показанной на рисунке 8.

Для рассмотрения 2-го случая выберем параметры двигателя из варианта 1-3 методических указаний [Теория автоматического управления. Нелинейные системы автоматического управления: методические указания к курсовому проектированию / Сост.: С.Я. Галицков, К.С. Галицков, А.С. Фадеев. – Самара: АСИ СамГТУ, 2019 – 33 с.]. В них даны следующие параметры: К_д = 1,2 рад/с/В;
Т_э = 0,06; Т_м = 0,48 с. Рассчитаем 4·Т_э = 0,24. При этом видим, что выполняется неравенство (24)

значит передаточная функция по управляющему воздействию записываем в виде

а передаточную функцию по возмущающему воздействию – в виде

Рассчитаем постоянную времени и декремент затухания по выражениями (26) и (27)

В данной математической модели считается, что К_д = К_дв.

Теперь можно перейти к построению вычислительной модели в программной среде MatLab.

Настроим блоки Gain и Transfer Fcn в верхнем (по рисунку 9) канале, относящемся к возмущению.

Передаточная функция по возмущению можно записать так

Представим эту запись в виде нескольких типовых динамических звеньев путе разбития дроби на произведение дробей таким образом, чтобы степень полинома числителя не превышала степень полинома знаменателя, т.к. это является критерием технической реализуемости звена. Исходя из этого выражение (28) можно записать в виде

В выражении (29) можно выделить три составляющие: коэффициент 1,2, который в MatLab моделируется блоком Gain и две дроби, которые моделируются двумя блоками Transfer Fcn.

В блоке Gain запишем коэффициент передачи двигателя К_д. В нашем случае он составляет 1,2. В MatLab с десятичным разделителем является точка. Поэтому нужно вписать в поле Gain значение "1.2".

Теперь настроим первый блок Transfer Fcn. В нем есть два поля: Numerator coefficients (сюда записывают коэффициенты полинома числителя) и Denominator coefficients (сюда записывают коэффициенты полинома знаменателя).

В числителе первой дроби правой части выражения (29) имеется полином (0,06р + 1) в нем есть два коэффициента при операторах Лапласа. Это коэффициенты 0,06 и 1 их запишем в виде матрицы в квадратных скобках через пробел в поле Numerator coefficients. Эта запись будет иметь вид [0.06 1].

Теперь настроим блоки Transfer Fcn в нижнем (по рисунку 9) канале, относящемся к управлению. Передаточная функция этого блока описывается выражением

Это выражение можно запись в виде

Настроим блоки Transfer Fcn в нижнем (по рисунку 9) канале, относящемся к управлению по ранее рассмотренной методике.

Для первой дроби правой часи выражения (30) будут следующие настройки: поле Numerator coefficients будет заполнено значением [1.2], поле Denominator coefficients - [0.07 1].

Для второй дроби правой часи выражения (30) будут следующие настройки: поле Numerator coefficients будет заполнено значением [1], поле Denominator coefficients - [0.41 1].

Итоговая вычислительная модель показана на рисунке 12.

В момент времени t = 1 с произошло повышение напряжения двигателя на величину ΔЕ_д = 1 В. При этом частота вращения вала двигателя увеличилась на величину Δω_д =1,2 рад/с по траектории, показанной на рисунке 13.

В момент времени t = 5 с произошло повышение статической нагрузки на вал двигателя на величину ΔМ_с = 1 Н·м. При этом частота вращения вала двигателя снизилась на величину Δω_д =1,2 рад/с по траектории, показанной на рисунке 13.